Y=1+2^x+A*4^x在X<=1有Y 恒>0,求 A 的范围

令2^x=t,由于x∈(-∞，1]
所以0<t<2

所以y=1+t+a*t^2
当a=0时，y=1+t>1
此时明显成立

当a>0时，明显有1>0,t>0,a*t^2>0
所以y=1+t+a*t^2>1
也成立

当a<0时
函数f(t)=a*t^2+t+1
=a*(t^2+t/a)+1
=a*[t^2+t/a+(1/2a)^2]-a/4a^2+1
=a*(t+1/2a)^2-1/4a+1(0<t<=2)

由于a<0,所以1/2a<0
所以f(t)在（0，2]上的最小值是f(2)
f(2)=1+t+a*t^2=1+2+4a=3+4a

当fmin>0,时，有f(t)>0
3+4a>0
a>-3/4
即-3/4<a<0

所以综上所述当a>-3/4有
Y=1+2^x+A*4^x在X<=1有Y 恒>0
a是取值范围是(-3/4，+∞)

0<2^x=t<=2 x=(-无穷,1]
y=1+t+At^2
很明显A>=0时满足恒>0
A<0时
抛物线开口向下，对称轴x=-1/2A
如果-1/2A>1表示，因为f(0)=1>0所以定义域里抛物线在x轴上方，保证它>0，即-1/2<A<0
如果0<-1/2A<1定义域里的抛物线包含了顶点，而f(0)>0，并且(0,-1/2A)是增函数，所以符合，（-1/2A，1）是减函数，最小值为f(1)=A+2>0
A>-2
与－1／2A<1矛盾
去掉
所以A<-1/2满足